miércoles, 15 de febrero de 2012

casos de productos notables

PRODUCTOS  NOTABLES
Antes que nada queremos hacer la salvedad de que es necesario e indispensable saber calcular potencias de manera perfecta. Sobre todo cuando se trata del exponente 2 ó 3.
Recordemos que (a)2 = axa = a 2 y que (b)3 = bxbxb = b3, donde a y b pueden ser variables (letras), o bien números reales.

Así, por ejemplo, (7)2 = 7 x 7 = 49  y  (3)3 = 3 x 3 x 3 = 27.
Mientras que (x3)2 = (x3)(x3) = x6.

Otro requisito es tener en mente el concepto de binomio y de qué se trata la multiplicación de binomios.

Ahora si podemos entrar en materia. Primeramente debemos tener presente que, en matemáticas, producto no es más que el resultado de multiplicar dos cantidades. De donde podemos deducir que un "producto notable" es un producto cuyo cálculo es obvio.
En los productos notables intervienen binomios, que en algunos casos se multiplican por sí mismos o con otro.

Veamos ahora el cuadrado de la suma de dos cantidades, es decir (a + b)2  que no es más que multiplicar  (a + b)  por sí mismo dos veces. De lo cual obtenemos lo siguiente:
(1)          (a + b)2 = (a)2 +2(a)(b) + (b)2

A manera de ejemplo hagamos uso de (1) para calcular
(y + 5)2 , pero haciendo los cálculos mentalmente.
En efecto,  (y + 5)2 = y2 + 10y + 25.


Otro caso de producto notable es el cuadrado de la diferencia de dos cantidades   (a – b)2, cuyo cálculo es muy similar al anterior. Haciendo la multiplicación de  (a – b) por sí mismo tendremos que:
(2)  (a – b)2 = (a)2  – 2(a)(b) + (b)2

Si hacemos uso de (2) para calcular (x2 – 3y)2   mentalmente el resultado será.... (x2 – 3y)2.

El cubo de la suma de dos cantidades  (a + b)3, también es un caso de producto notable. Donde obviamente se trata de multiplicar  (a + b) por sí mismo tres veces, y cuyo resultado es:
(3)   (a + b)3 = (a)3 + 3(a)2(b) + 3(a)(b)2 + (b)3.
                                                                    
Utilizando (3) fácilmente podemos calcular  (x + 2)3, como lo hemos hecho en los dos ejemplos anteriores. Luego,
(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8.

Otro caso similar a este último es el cubo de la diferencia de dos cantidades (a – b)3, cuya solución es análoga a la anterior. Por tanto,
(4)   (a – b)3 = (a)3 – 3(a)2(b) + 3(a)(b)2 – (b)3.


Como ejemplo calculemos  (y2 – 3)3 usando (4), de la misma manera que venimos haciéndolo. Entonces,
(y2 – 3)3 = y6 – 9y4 + 27y2 – 27.

El siguiente caso es el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (a + b) (a – b). El cual si lo consideramos como la multiplicación de dos binomios, obtendremos:
(5)  (a + b) (a – b) = (a)2 – (b)2.

Mediante el uso de (5) calculemos  (m + 5)(m – 5) mentalmente. Fácilmente tendremos que:
(m + 5)(m – 5) = m2 – 25.

El último producto notable que veremos en este tratado es el producto de la forma
(6)   (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + (a)(b),
Cuyo resultado es fácil comprobar si multiplicamos ambos binomios.

Como ejemplo, calculemos rápidamente (x + 4)(x + 3) usando (6). En efecto, haciendo los cálculos mentales según (6) obtendremos que:
(x + 4)(x + 3) = x2 + 7x + 12.

De manera similar podemos calcular (x + 4)(x – 3), cuyo producto no es más que: x2 + x – 12.

Aceptamos sugerencias o preguntas, gracias.
Autor: Félix Alberto Rangel Guerrero.































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